2014 - Pi

Menghitung Nilai Pi dengan Metode Penjumlahan Riemann

Banyak cara telah ditemukan untuk menentukan nilai π. Kali ini gua pengen ngasih salah satu cara menghitung nilai π dengan cara Metode Penjumlahan Riemann (bukan gua yang bikin) yang gua ambil dari Karya Ilmiah gua tahun lalu.<br />
<br />
Untuk menghitung nilai π, akan digunakan sebuah lingkaran dengan jari-jarinya berukuran 1 satuan, apabila diketahui L adalah ukuran luas lingkaran. Dimana luas lingkaran tersebut memiliki rumus:<br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8500132642179298967" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="luas lingkaran" border="0" height="18" src="images/clip_image002.png" style="cursor: move;" width="47" /></a><br />
  <br />
  karena jari-jari bernilai 1 satuan, maka:<br />
  <img alt="L = Pi" height="18" src="images/L = pi.png" width="34" /><br />
  Untuk menentukan luas lingkaran berjari-jari 1 satuan dengan menggunakan metode penjumlahan Riemann Kiri, didefinisikan pada sebuah diagram Cartesius suatu persamaan lingkaran , <img alt="persamaan lingkaran" height="18" src="images/persamaan lingkaran.png" width="68" /><br />
  <img alt="lingkaran" height="288" src="images/lingkaran.png" width="307" /><br />
  Gambar 4. Lingkaran dengan persamaan <img alt="persamaan lingkaran" height="18" src="images/persamaan lingkaran.png" width="68" /><br />
  Untuk menghitung luas lingkaran pada gambar 4 dapat dilakukan dengan menghitung luas seperempat bagian pada daerah kuadran I saja (memilih titik ujung  a=1 dan  b=1).<br />
  <img alt="seperempat lingkaran" height="148" src="images/seperempat lingkaran.png" width="153" /><br />
  Gambar 5. Seperempat Lingkaran<br />
  Penerapan metode Riemann kiri dilakukan dengan membagi seperempat lingkaran tersebut menjadi n bagian.<br />
  <img alt="seperempat lingkaran dibagi sebanyak n kali" height="181" src="images/seperempat lingkaran dibagi sebanyak n.png" width="153" /><br />
  Gambar 6. Seperempat lingkaran dibagi sebanyak n kali<br />
  Sehingga rumus luas lingkarannya menjadi:<br />
  <img alt="persamaan luas lingkaran n" height="46" src="images/rumus luas lingkaran.png" width="177" /><br />
  A adalah luas balok yang memiliki rumus  <img alt="Ai" height="18" src="images/Ai.png" width="64" /> dimana   <img alt="delta x" height="25" src="images/delta x.png" width="146" /> dan  <img alt="yi" height="22" src="images/yi.png" width="126" />, dengan <img alt="xi" height="25" src="images/xi.png" width="245" /><br />
  Untuk n =2, maka:<br />
  <img alt="seperempat lingkaran dibagi menjadi 2 bagian" height="174" src="images/seperempat lingkaran dibagi menjadi 2 bagian sama besar.png" width="155" /><br />
  Gambar 7. Seperempat lingkaran dibagi menjadi 2 bagian yang sama besar<br />
  <br />
  Untuk ,   , maka<br />
  <br />
  Untuk ,   , maka<br />
  <br />
  Sehingga luasnnya menjadi:<br />
  <br />
Lalu pendekatan nilai π didapatkan dengan <br />
Untuk nilai n selanjutnya yang lebih besar, dikarenakan perhitungan yang rumit, maka digunakan program java<br />
  <br />
  Gambar 10. Notepad++<br />
  Kemudian, program dipanggil dengan menggunakan Command Prompt<br />
  <br />
  Gambar 11. Command Prompt<br />
  Sehingga akan muncul jendela baru (JoptionPane), yang digunakan untuk menginput nilai n yang diinginkan.<br />
  <br />
  Gambar 12. Masukkan nilai n<br />
  Misalkan, jika n yang dimasukkan ada 10000, seperti pada gambar berikut:<br />
  <br />
Gambar 13. JoptionPane dengan nilai n adalah 10.000<br />
Hasil akan tertera di Command Prompt seperti berikut:<br />
  <br />
  Gambar 14. Hasil yang didapat dengan n = 10.000<br />
  Dari hasil tersebut didapatkan:<br />
  1. Nilai   dengan   dari 1 sampai n (Tergantung pada berapa jumlah n yang dihitung).<br />
  2. Hasil dari penjumlahan <br />
  3. Jumlah   dikalikan 4 ( 1 lingkaran penuh)<br />
  4. Galat (selisih antara nilai π dengan hasil yang sudah didapatkan)<br />
5. Durasi yang dibutuhkan untuk proses pengerjaan<br />
<table border="1" style="width: 200px;">
  <tbody>
<tr bgcolor="#0066FF" style="color: black;">
    <th scope="col">n</th>
    <th scope="col">Hasil</th>
    <th scope="col">Waktu</th>
    <th scope="col">Galat</th>
  </tr>
<tr>
    <td>2</td>
    <td>3,732050807568877</td>
    <td>0,016</td>
    <td>0,5904581539790841</td>
  </tr>
<tr>
    <td>3</td>
    <td>3,5842201273259344</td>
    <td>0,015</td>
    <td>0.4426274737361413</td>
  </tr>
<tr>
    <td>4</td>
    <td>3,495709068102441</td>
    <td>0,031</td>
    <td>0,35411641451264764</td>
  </tr>
<tr>
    <td>5</td>
    <td>3,437048822541282</td>
    <td>0,031</td>
    <td>0.29545616895148896</td>
  </tr>
<tr>
    <td>6</td>
    <td>3,3953164558459465</td>
    <td>0,031</td>
    <td>0.25372380225615343</td>
  </tr>
<tr>
    <td>7</td>
    <td>3,364086322077817</td>
    <td>0,047</td>
    <td>0.2224936684880241</td>
  </tr>
<tr>
    <td>8</td>
    <td>3,3398191443571736</td>
    <td>0,047</td>
    <td>0,19822649076738053</td>
  </tr>
<tr>
    <td>9</td>
    <td>3,320407613040077</td>
    <td>0,047</td>
    <td>0.1788149594502837</td>
  </tr>
<tr>
    <td>10</td>
    <td>3,3045183652129593</td>
    <td>0,047</td>
    <td>0.16292571162316616</td>
  </tr>
<tr>
    <td>16</td>
    <td>3,2482530378272414</td>
    <td>0,063</td>
    <td>0,10666038423794832</td>
  </tr>
<tr>
    <td>32</td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
<tr>
    <td>64</td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
<tr>
    <td>128</td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
<tr>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
<tr>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
</tbody></table>
<br />
<br />

Menghitung Nilai Pi dengan Metode Penjumlahan Riemann

Banyak cara telah ditemukan untuk menentukan nilai π. Kali ini gua pengen ngasih salah satu cara menghitung nilai π dengan cara Metode Penju...

Baca selengkapnya »

19.11

Kenapa kita semua main games?

<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
     Jawaban yang pasti udah selalu paten di otak kita adalah, "for fun aja sih", begitu juga matematikawan. Bagus di Matematika sebenernya bisa banyak ngebantu kita buat berbagai macam <i>games</i> susah, kayak Catur. Tapi selain itu ada alasan lain kenapa. Matematikawan tertarik sama <i>games</i> karena dari situ mereka bisa ngebantu kita untuk memahami tingkah laku kita (dan binatang). Salah satu bagian besar Matematika, yang disebut <i>game theory </i>(yang diciptakan oleh <a href="http://thisismathblog.blogspot.com/2014/09/resensi-buku-beautiful-mind.html">dia</a>), telah memberikan menghasilkan sebuah cahaya yang membantu kita paham terhadap tingkah laku kita (manusia), terutama bagaimana kita membuat keputusan (<i>decision making</i>).<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://p1.pichost.me/i/27/1497275.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="http://p1.pichost.me/i/27/1497275.jpg" width="320" /></a></div>
<br /></div>
<div class="rightimage" style="background-color: white; color: #993366; float: right; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 18.003999710083px; padding: 5px; width: 346px;">
<img alt="" height="346" src="http://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2014/gametheory/fotolia_60884518_xs.jpg" style="border: none; padding: 10px; vertical-align: baseline;" width="346" /><br />
<div style="margin-bottom: 1em; padding-left: 10px; text-indent: 0em;">
Not just fun and games.</div>
</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
*diterjemahkan dari <a href="http://plus.maths.org/content/why-do-mathematicians-play-games">artikel</a> plus.math.org ke dalam bahasa indonesia* Sebagai contoh, coba bayangkan masa Perang Dingin. Setelah Perang Dunia II USA dan Uni Soviet ngebuat berbagai macam senjata nuklir, sebagai upaya buat mempertahankan diri dari yang lawannya. Pada akhirnya, senjata yang mereka buat bisa musnahin seluruh kehidupan di Bumi. Situasi yang lucu. Tidak ada satupun diantara mereka mau ngegunain senjata itu, karena sebenernya mereka sendiri tahu kalo itu cuma bakal ngehancurin semuanya. Namun mereka juga ga mau membuang senjata mereka karena mereka takut yang lainnya akan memanfaatkan hal tersebut. Dan konsekuensi dari kecelakaan nuklir itu ga kebayang banget deh. BAGAIMANA CARANYA, PEMIMPIN YANG DIANGGAP INTELEK SAMA RAKYATNYA, DAN BAHKAN DUNIA SEBODOH ITU DALAM MIKIRIN HAL KAYAK GITU DOANG? YANG NYEBABIN 1 DUNIA NIH KETAKUTAN AKAN KEPUNAHAN HIDUP!?<br />
<span style="line-height: 18.003999710083px;"><br /></span>
<span style="line-height: 18.003999710083px;">     Buat lebih gampangnya, coba bayangin lu sama gua main <i>game</i>. Lu sebagai Presiden USA (A) dan gua sebagai Presiden Uni Soviet (U). Kita punya 2 pilihan hal yang bisa kita lakuin: menciptakan senjata nuklir yang lebih banyak dan lebih kuat, atau tidak melakukan apa-apa (maksudnya ga nyiptain senjata, bisa aja ngebenerin rakyat dan lain-lain yang lebih berguna). Kita ngelakuinnya di waktu yang sama tanpa tahu apa yang dilakuin tim lain, kayak main gunting kertas batu.</span></div>
<div style="background-color: white; float: left; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-right: 10px; width: 300px;">
<table border="1" cellpadding="10" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0px;"><caption align="bottom" font-size="2" style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">Tabel ini menunjukkan poin yang didapat tiap pemain dari setiap langkah. Angka pertama itu buat gua, angka kedua poin kelompok lu.</caption><tbody style="border-top-style: none;">
<tr><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">(U, A)</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">Lu Bikin Senjata Lagi</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">Lu Ga Bikin Senjata Lagi</td></tr>
<tr><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">Gua Bikin Senjata Lagi</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">1,1</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">3,0</td></tr>
<tr><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">Gua Ga Bikin Senjata Lagi</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">0,3</td><td style="font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Helvetica, 'Bitstream Vera Sans', sans-serif;">2,2</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Jika gua bikin senjata lagi disaat lu nggak, gua yang menang karena gua jadinya lebih kuat daripada lo: gua dapet 3 poin dan lu nol. Begitu juga sebaliknya, kalo lo yang nyiptain senjata dan gua nggak. Kalo kita berdua sama-sama nyiptain senjata, kita sama-sama dapet 1 poin karena terhitung seri. Begitu juga kalo kita berdua sama-sama ga bikin senjata, itu juga dihitung seri. Tapi poinnya 2 karena lebih menguntungkan untuk kedua negara.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Kalo dipikir-pikir, langkah terbaik adalah untuk bikin lebih banyak senjata karena kalo kelompok lu ga bikin, gua bisa dapet poin 3 disaat lu dapet 0. Namun, kelompok lu juga udah jelas sadar kalo lu bakal bikin juga senjata karena itu hal yang menguntungkan juga buat lu. Dan pada akhirnya, kelompok kita berdua akan dapet poin 1, lebih baik lah dibanding 0. Jadi, Strategi Dominan gua adalah memproduksi senjata : karena itu lebih baik daripada ga bikin, ga peduli apa yang kelompok lu lakuin. Dengan alasan yang sama juga, langkah terbaik biar lu menang adalah bikin lebih banyak senjata lagi.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Namun, jika kita berfikir untuk alasan logis yang sama dan egoistis, <i>game</i> akan berakhir dengan jumlah senjata maksimal di kedua sisi, dimana kita cuma dapet 1 poin di tiap langkah. Namun, kita (setiap kelompok) bisa dapet poin lebih banyak jika kita berdua ga bikin lebih banyak senjata : karena kita berdua bisa dapet 2 poin. <i>It's a strange Paradox</i>. Langkah terbaik kita tidak membawa kita ke hasil yang paling bagus.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Di perlombaan senjata sebenarnya kita ga dapet poin (yaiyalah), tapi kita bisa menganggap poin ini sebagai skala seberapa suka penduduk terhadap hasilnya. (contohnya 3 sangat suka, 0 benci parah). Lalu, jika para politikus berlaku rasional dan memiliki kecintaan terhadap negerinya sendiri, mereka akan merasa seperti ga ada jalan lain kecuali nambahin jumlah persenjataan mereka.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Lomba persenjataan ini sebenernya sangat populer di <i>game theory</i>. Ini dinamakan <i>prisoner's dillema </i>(dilema tawanan penjara) karena biasanya di soal dalam bentuk 2 tawanan penjara yang memiliki pilihan untuk membantu satu sama lain atau melaporkan satu sama lain ke polisi. Yang jelas, kehidupan nyata lebih ribet daripada <i>game</i>. Manusia memiliki kemampuan untuk negosiasi, mereka mungkin bisa gimana pun caranya tahu apa yang bakalan dilakuin sama lawannya, dan mereka juga bisa  berpandangan cukup jauh untuk mematahakn perputaran menuju kekalahan (<i>far-sighted enough to break the impeding spiral towards doom</i>). Namun meniru situasi yang rumit menggunakan <i>game</i> matematika mudah bisa membuat kita paham sepenuhnya.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Dan itulah sebenarnya apa yang <i>game theory</i> ajarkan. Ia mencoba untuk menggambarkan sebagian besar situasi melalui <i>game </i>dengan peraturan yang jelas. Matematikawan kemudian mencari tahu strategi apa yang ada, dan bagaimana pemain yang rasionalis lakukan untuk mendapatkan keinginannya sendiri. Matematikawan telah melakukan hal ini untuk <a href="http://plus.maths.org/content/2007-nobel-prizes-won-mathematicians" style="color: #005689; text-decoration: none;">memahami Ekonomi</a>, dimana semuanya adalah tentang apa yang manusia lakukan  untuk menambahkan kekayaan mereka, namun juga digunakan dalam psikologi, contohnya untuk <a href="http://plus.maths.org/content/trust-me-ive-evolved" style="color: #005689; text-decoration: none;">memahami bagaimana orang-orang memiliki karakteristik yang berbeda</a>, dan pada biologi untuk menjelaskan tingkah laku hewan dan organisme lainnya.</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
Tentu saja, jika kau merasa <i>game</i> ini terlalu mudah, kau bisa membuatnya lebih realistis dengan membuatnya lebih sulit. Contohnya, jika ada 2 orang memainkan <i>prisoner dillema</i> berulang-ulang dna di setiap ronde mengingat bagaimana lawannya bertingkah pada ronde sebelumnya, kemudian strategi terbaik mereka mungkin untuk mempercayai pemain lain (daripada membuat lebih banyak persenjataan contohnya). Dengan begitu orang-orang telah mencoba menjelaskan bagaimana manusia, dan hewan lainnya, telah menevolusi seuatu kemampuan, meskipun kepepet, untuk berperilaku baik kepada yang lain meskipun itu tidak akan secara langsung didapatkan. (lihat artikel <a href="http://plus.maths.org/content/does-it-pay-be-nice-maths-altruism-part-i" style="color: #005689; text-decoration: none;">ini</a> untuk lebih jelasnya). Dengan begitu dari kedinginan matematika bahkan bisa menjelaskan perasaan hangat dan nyaman yang kita rasakan sebagai kebaikan manusia!</div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18.003999710083px; margin-bottom: 1em;">
<i>Lebih lanjut tentang game theory dan aplikasinya di artikel <a href="http://plus.maths.org/content/taxonomy/term/405" style="color: #005689; text-decoration: none;">berikut</a></i></div>

Kenapa kita semua main games?

Jawaban yang pasti udah selalu paten di otak kita adalah, "for fun aja sih", begitu juga matematikawan. Bagus di Matematika ...

Baca selengkapnya »

21.57

Resensi Buku : A Beautiful Mind

<br>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;">          Sebenernya gua dapet tugas ini dari guru bahasa indonesia. Bikin rangkuman buku. Judulnya A Beautiful Mind. Ini bukan buku novel, tapi buku biografi, yang berarti emang bener-bener ada. Gua nemu buku ini dari perpus sekolah. Ada juga filmnya sih, tapi gua belom nonton sampe abis. Biografi ini adalah biografi tentang seorang tokoh matematika terkenal. Ga ada hubungannya sama Pi sih, tapi dia berjasa besar dalam dunia matematika. Dia adalah bapak dari Teori Permainan (</span><i style="font-family: inherit;">Game Theory</i><span style="font-family: inherit;">). Yang berguna banget sebenernya buat kehidupan. Bukan cuma buat main LINE Let's Get Rich doang, bukan cuma buat main Catur doang, masih banyak manfaat nyatanya di kehidupan. Dia sempet divonis dokter kena penyakit "Skizofrenia". Dan juga pernah dapet penghargaan nobel. Yaudah, ini dia, dan juga kalo ada yang perlu intisari buku non-fiksi boleh make punya gua ini. Silahkan. Tapi comment dulu kalo mau nge-</span><i style="font-family: inherit;">copy</i><span style="font-family: inherit;">.</span><br>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZDOaZcACb1Dl05Yr1NCah3SCTyu5RHLv9q1uzP2-j9R3oAjvy6LruZ33c-qLoDebugM8Cari_x-N8gOnqoumBJe7m13ic8p9EmoZUp5HTLI8JoFi3ysG0tXwO2XBw5w159zoi3pvzPu3i/s1600/beautiful+mind.jpg" imageanchor="1" style="line-height: 24px; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-indent: -141.800003051758px;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZDOaZcACb1Dl05Yr1NCah3SCTyu5RHLv9q1uzP2-j9R3oAjvy6LruZ33c-qLoDebugM8Cari_x-N8gOnqoumBJe7m13ic8p9EmoZUp5HTLI8JoFi3ysG0tXwO2XBw5w159zoi3pvzPu3i/s1600/beautiful+mind.jpg" width="252"></a></div>
</div>

Resensi Buku : A Beautiful Mind

Sebenernya gua dapet tugas ini dari guru bahasa indonesia. Bikin rangkuman buku. Judulnya A Beautiful Mind. Ini bukan buku novel...

Baca selengkapnya »

03.10